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2017-Spring Springer theory

For 2017 Spring semester, from 21-Mar 2017 to 27-June 2017, the time and venue are as the following:
Time: Tuesday noon 12:00-13:30. (the time slot is updated) 
Venue: School of Mathematics SJTU, Room-1106.

TimeVenueTitle/Abstract
Mar 21, 2017,
18:30-20:00
Room-1106Introduction to Springer theory
This is the first talk of my proposed seminar on Weyl group, Springer theory, Hecke algebra and related topics. As an orientation, I will first explain the content of Springer correspondence. Then I will briefly review the basic idea of the constructions of the Springer correspondence. In the end, I will discuss some relationships of the Springer theory with other fields, such as combinatorics and representation theory of reductive groups. If time permits, I will also discuss the generalized Springer correspondence.
Mar 28, 2017Canceled
April 4, 2017Canceled due to Qingming Festival
April 11, 2017,
12:00-13:30
Room-1106A proof of Springer correspondence by Chriss-Ginzburg, (I)
I will present a proof of the Springer correspondence following Chriss-Ginzburg's book "Representation Theory and Complex Geometry" in the next two or three talks. In this talk, I plan to discuss the geometry of the flag variety and the Steinberg variety.
April 18, 2017,
12:00-13:30
Room-1106
Continue the discussion on Ghriss-Ginzburg's book.
April 25, 2017,
12:00-13:30
Room-1106
Continue the discussion on Ghriss-Ginzburg's book.
May 2 , 2017,
12:00-13:30
Canceled
May 9 , 2017,
12:00-13:30
Room-1106Discussion on Ghriss-Ginzburg's book: Borel-Moore homology
May 16 , 2017,
12:00-13:30
Room-1106Discussion on Ghriss-Ginzburg's book: Borel-Moore homology
May 23 , 2017,
12:00-13:30
Room-1106Discussion on Ghriss-Ginzburg's book.
May 30 , 2017,
12:00-13:30
Canceled due to Duanwu Festival(Dragon Boat Festival)
Jun 6 , 2017,
12:00-13:30
Discussion on Ghriss-Ginzburg's book.
Jun 13 , 2017,
12:00-13:30
Discussion on Ghriss-Ginzburg's book.
Jun 20 , 2017,
12:00-13:30
Discussion on Ghriss-Ginzburg's book. Finished Chapter 3

2018 春季 代数拓扑

课程信息

习题

  • 3月13日交,选做2题: Chapter 0: 4, 11, 13, 15, 23,26
  • 3月27日交,选做2题:
    Section 1.1: 14, 15;
    Section 1.2: 6, 7, 8, 14, 19,20, 21;
    Section 1.3: 8, 9, 18, 26, 28, 32
  • 4月24日交, 选做2题:
    Section 2.1: 4, 9, 28
  • 5月22日交, 选做2题:
    Section 3.1: 5, 7, 8, 9

期中考试

以下三组题中选做一组, 5月15日交
1. Section 1.1: 6, Section 2.1: 20, 21, Section 2.2: 26
2. Section 1.1: 17, Section 2.1: 17 (a), Section 2.2: 38, 39
3. Section 1.1: 20, Section 2.1: 17 (b), Section 2.2: 40, 42

* 思考题(题不用交):

  • Chapter 2
    Section 2.1: 11,12,13,15,16,22,31
    Section 2.2: 7, 8, 12, 15, 20, 21, 22, 23, 36
  • Chapter 3
    Section 3.2: 11, 15
    Section 3.3: 8, 9, 10, 11, 20, 22, 25

2017 秋季 代数数论

主要内容,简要介绍类域论的知识。

上课时间:第1周到第8周,周一11-12节和周三9-10节。 地点: 上院306

课本:

参考书:

  1. [S] Serre, A course in Arithmetic
  2. [SL]Serre, Local Fields
  3. [SD] Swinnerton-Dyer, A Brief Guide to Algebraic Number Theory
  4. [N] Neukirch, Algebraic Number Theory
  5. Weil, Basic Number Theory
  6. [AM] Atiyah and MacDonald, Introduction to Commutative Algebra
  7. [CF] Algebraic Number Theory, Proceedings of an Instructional Conference Organized by the London Mathematical Society
  8. [M] J.S. Milne, Class Field Theory
  9. [A] Michael Artin on noncommutative ring theory
  10. [FD] Farb and Dennis, Noncommutative Algebra, Chapter 4: The Brauer Group

思考题:

  • 第二章, 问题 4,12,习题 2.2
  • 第三章, 问题 3,习题 3.4

期末报告备选问题:

  1. Gamma函数与Sin函数的乘积公式. Erica Chan, The Sine Product Formula and the Gamma Function
  2. 复数域上的椭圆曲线 J.S. Milne, Elliptic Curves; Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, An online lecture note
  3. Galois理论的回顾, Trace和Norm [K] 附录, [N] Section I.2
  4. 分圆域(Galois群,整数环,理想的分解等) [K] 相关章节, [N] Section I.10 [SD] Section 13
  5. 整闭整环及其扩张. [AM] Chapter 5, [N] Section I.2
  6. 局部化,局部环. [N] Section I.11
  7. Noether环,Artin环及例子 [AM] Chapter 6-8
  8. Dedekind环的定义,基本性质及例子. [N] Section I.3 [AM] Chapter 9 [CF] Section I.2
  9. 共轭差积与判别式 (Difference and Discriminant) [N] III.2 [K] 6.3(b)
  10. 理想及分式理想的分解 [N] Section I.3 [AM] Chapter 4, Chapter 9 [CF] Section I.2
  11. 逆向极限, pro-finite group及在Galois理论中的应用. [CF] Section V.1
  12. 完备局部域, Hensel引理及p-aidc域的乘法群结构. [S] Chapter 2 [N] Proposition II.5.7
  13. 不变测度及命题6.81,6.82的证明. [K] 6.4(g)节 [SD] 附录
  14. Pontrjagin对偶, 例子,及命题6.79的证明. [K] 6.4(h)节.
  15. 中心单代数及Brauer群的定义 [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5, [FD]
  16. Brauer群的例子(有限域,局部域及inv映射) [A] [M] Chapter 4, [SL] X.5 XII, [FD]
  17. 关于素数分布的定理 [K] 第七章相关部分
  18. L-函数的函数方程 [K] 第七章相关部分
  19. 类域论在函数域情况下的结果. [K] 课本相关内容 [N] Section I.14

期末报告   地点:数学楼1106,2017年12月17日
题目及时间:

序号 报告时间 姓名 题目
1 09:00 — 09:30 岳宸阳  Gamma函数与Sin函数的乘积公式
2 09:30 — 10:00 阚晓鹏 复数域上的椭圆曲线 J.S. Milne, Elliptic Curves; Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
3 10:00 — 10:30 梁乐 Galois理论的回顾, Trace和Norm [K] 附录, [N] Section I.2
4 10:30 — 11:00 肖凌 分圆域(Galois群,整数环,理想的分解等) [K] 相关章节, [N] Section I.10 [SD] Section 13
5 11:00 — 11:30 侯家齐 整闭整环及其扩张. [AM] Chapter 5, [N] Section I.2
6 11:30 — 12:00 钟宇涛 Noether环,Artin环及例子 [AM] Chapter 6-8
7 13:00 — 13:30 吴怡婕 Dedekind环的定义,基本性质及例子. [N] Section I.3 [AM] Chapter 9 [CF] Section I.2
8 13:30 — 14:00 吴斌香 共轭差积与判别式 (Difference and Discriminant) [N] III.2 [K] 6.3(b)
9 14:00 — 14:30 许逸凡 理想及分式理想的分解 [N] Section I.3 [AM] Chapter 4, Chapter 9 [CF] Section I.2
10 14:30 — 15:00 张正鑫 逆向极限, pro-finite group及在Galois理论中的应用. [CF] Section V.1
11 15:00 — 15:30 万仁星 完备局部域, Hensel引理及p-aidc域的乘法群结构. [S] Chapter 2 [N] Proposition II.5.7
12 15:30 — 16:00 张亚智 不变测度及命题6.81,6.82的证明. [K] 6.4(g)节 [SD] 附录
13 16:00 — 16:30 陈雨阳 Pontrjagin对偶, 例子,及命题6.79的证明. [K] 6.4(h)节.
14 16:30 — 17:00 盛晗晗 中心单代数及Brauer群的定义 [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5,  [FD]
15 17:00 — 17:30 沈博健 Brauer群的例子(有限域,局部域及inv映射) [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5 XII, [FD]
16 17:30 — 18:00 郑振洲 关于素数分布的定理 [K] 第七章相关部分

高等代数与解析几何知识点

  1. 线性空间

    • 定义, 常见的例子: \mathbb{R}^n, 多项式, 连续函数等组成的空间…
    • 从已知线性空间构造新的线性空间: 子空间, 商空间, 直和, 线性映射的核空间/像空间, (线性映射组成的空间\mathop{Hom}(V,W), 对偶空间V^*= \mathop{Hom}(V,K), 直积, 张量积, 外积… )
  2. 线性映射

    • 选定一组基以后, 线性映射\Leftrightarrow矩阵. 换不同的基\Leftrightarrow矩阵的相似变换.
    • 维数公式: \tau\in \mathop{Hom}(V,W), 则\dim \mathop{Ker}(\tau) + \dim \mathop{Im} (\tau) = \dim V
    • 不变子空间\longleftrightarrow存在基使得在这组基下线性映射成分块上(下)三角形;
    • 空间的分解成不变子空间的直和\longleftrightarrow存在基使得在这组基下线性映射成分块对角矩阵;
    • 特征值, 特征向量, 矩阵/线性变换可对角化\longleftrightarrow存在一组由特征向量组成的基
    • 任意有限维空间上的线性变换有若当标准型, (幂零)若当块\longleftrightarrow循环子空间, 幂零变换的若当标准型, 广义特征子空间
    • 矩阵(线性变换的)函数(多项式或幂级数): 对多项式p可以定义p(A), 可以定义矩阵的指数e^A, (事实上如果矩阵可对角化, 可以对任意连续函数可以定义矩阵函数Functional calculus…)
    • 用若当标准型计算g(A)
  3. 带有附加配对(paring)结构的线性空间, (Paring: 线性空间上的对称、共轭对称或反对称的非退化双线性函数)
    • (伪)内积,酉内积,辛内积\longleftrightarrow欧氏空间, (伪)欧氏空间,酉空间,辛空间
    • (酉)内积空间中的Cauchy-Schwarz不等式, 三角不等式
    • 任取基, 得度量矩阵:
      内积, (伪)内积, 酉内积, 辛内积 分别对应 正定对称矩阵, 可逆的对称矩阵, 正定的共轭对称矩阵, 反对称矩阵
    • 换基\longleftrightarrow矩阵的合同(congruence)变换 (即A\mapsto P^TAP或(在酉空间中)A\mapsto P^*AP)
    • 存在特别的基: 标准正交基(对欧氏空间, 酉空间), 辛空间(辛基), 对应的度量矩阵特别简单\longleftrightarrow矩阵
    • 标准正交基的构造: Gram–Schmidt方法 \longleftrightarrow (可逆)矩阵的QR分解(即分解为正交矩阵和上(或下)三角矩阵的乘积)
    • 保持结构的线性变换/矩阵(这些变换组成一个群): 正交变换/矩阵, 酉变换/矩阵, 辛变换, (伪内积空间上可以定义类似的变换)
    • 非退化的配对结构\leadstoAdjoint/Transpose的概念
    • 谱理论: 对称变换/矩阵(或正规变换)可以在某个标准正交基/用某个正交矩阵(或酉矩阵) 对角化;
      半正定矩阵\leftrightarrow对角线上非负数 (所以这样的矩阵可以求”开方”),
      Hermit矩阵\leftrightarrow对角线上实数,
      酉矩阵\leftrightarrow对角线上是单位根
      正交矩阵的标准形(分块对角矩阵, 每一块要么是\pm 1要么是个旋转.
    • 其他的常见分解: 极分解(Poler decomposition), (SVD分解…)
    • (伪内积空间与内积空间的异同, 不同, 如存在长度为零的非零向量.)
  4. 多项式环, 整数环, (一般的环的概念, 交换环, 零因子, 整环等概念…)

    • (多项式)环的理想的概念, 主理想的概念, 一元多项式环与整数环是主理想整环, 多元多项式环不是
    • 最大公因子/互素, 最小公倍数的概念及其与对应的理想的关系; 环中的单位(unit即可逆元)的概念, 不可约元/素元/(素理想)的概念, 唯一分解整环/唯一分解定理, 整数环是唯一分解整环(算术基本定理), (一元或多元)多项式环是唯一分解整环.
    • 中国剩余定理(和它的环论描述)
    • 多项式环中的因式分解:
      在复数域上分解为一次多项式的乘积(代数基本定理), 重根的概念, 及重根重数的判定法则
      在实数域上, 分解为一次或二次多项式的乘积.
      有理数域/整数环上, 分解为本原多项式的乘积, (一类本原多项式不可约的判别法: Eisenstein判别法)
    • 整数环, 整数环的商环(即同余类组成的环), Euler函数(另一种看法:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}中可逆元的个数)和它的计算公式, (积性函数Multiplicative function的概念), Euler定理/Fermat小定理
    • (用一元多项式环进一步理解线性变换的不变子空间/Jordan标准型的理论.)
    • (多元多项式环这的”首项”的概念, 初等对称多项式, 根与系数关系, 对称多项式基本定理, 判别式, 指数和/牛顿关于初等对称多项式与指数和之间关系的等式)
  5. 解析几何
    • 仿射空间, 度量空间, 射影空间的概念;
    • 选取仿射标架,正交标架(射影坐标系)\leftrightarrow将空间等同于\mathbb{R}^n(或P(\mathbb{R})^n)
      保持结构的变换: 仿射变换, 保距变换, (射影变换);\mathbb{R}^n(或P(\mathbb{R})^n)上这些变换的矩阵表达形式
      换标架\leftrightarrow\mathbb{R}^n上的仿射/保距变换.
    • (Klein和Erlangen纲领:几何=研究变换下的不变量)
    • 方程和图形: 一般方程, 参数方程
      二/三维空间中的例子: (三维空间中的特殊工具:外积(叉积,cross product))
      直线, 平面的的方程
    • 二次曲线和二次曲面:
      典型的二次曲线和二次曲面的方程和图形
      二次曲线、曲面的等距分类/仿射分类/射影分类 \leftrightarrow本质上是对称矩阵在不同变换下的等价类.
      二次曲面与平面的截线
      典型的非平凡的直纹面: 单叶双曲面, 双曲抛物面
    • (用仿射变换/射影变换证明平面几何中的问题…)