2017 秋季 代数数论

主要内容,简要介绍类域论的知识。

上课时间:第1周到第8周,周一11-12节和周三9-10节。 地点: 上院306

课本:

参考书:

  1. [S] Serre, A course in Arithmetic
  2. [SL]Serre, Local Fields
  3. [SD] Swinnerton-Dyer, A Brief Guide to Algebraic Number Theory
  4. [N] Neukirch, Algebraic Number Theory
  5. Weil, Basic Number Theory
  6. [AM] Atiyah and MacDonald, Introduction to Commutative Algebra
  7. [CF] Algebraic Number Theory, Proceedings of an Instructional Conference Organized by the London Mathematical Society
  8. [M] J.S. Milne, Class Field Theory
  9. [A] Michael Artin on noncommutative ring theory

思考题:

  • 第二章, 问题 4,12,习题 2.2
  • 第三章, 问题 3,习题 3.4

期末报告备选问题:

  1. Gamma函数与Sin函数的乘积公式. Erica Chan, The Sine Product Formula and the Gamma Function
  2. 复数域上的椭圆曲线 J.S. Milne, Elliptic Curves; Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, An online lecture note
  3. Galois理论的回顾, Trace和Norm [K] 附录, [N] Section I.2
  4. 分圆域(Galois群,整数环,理想的分解等) [K] 相关章节, [N] Section I.10 [SD] Section 13
  5. 整闭整环及其扩张. [AM] Chapter 5, [N] Section I.2
  6. 局部化,局部环. [N] Section I.11
  7. Noether环,Artin环及例子 [AM] Chapter 6-8
  8. Dedekind环的定义,基本性质及例子. [N] Section I.3 [AM] Chapter 9 [CF] Section I.2
  9. 共轭差积与判别式 (Difference and Discriminant) [N] III.2 [K] 6.3(b)
  10. 理想及分式理想的分解 [N] Section I.3 [AM] Chapter 4, Chapter 9 [CF] Section I.2
  11. 逆向极限, pro-finite group及在Galois理论中的应用. [CF] Section V.1
  12. 完备局部域, Hensel引理及p-aidc域的乘法群结构. [S] Chapter 2 [N] Proposition II.5.7
  13. 不变测度及命题6.81,6.82的证明. [K] 6.4(g)节 [SD] 附录
  14. Pontrjagin对偶, 例子,及命题6.79的证明. [K] 6.4(h)节.
  15. 中心单代数及Brauer群的定义 [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5, Chapter in Farb and Dennis, and Noncommutative Algebra
  16. Brauer群的例子(有限域,局部域及inv映射) [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5 XII, Chapter in Farb and Dennis, and Noncommutative Algebra
  17. 关于素数分布的定理 [K] 第七章相关部分
  18. L-函数的函数方程 [K] 第七章相关部分
  19. 类域论在函数域情况下的结果. [K] 课本相关内容 [N] Section I.14

课程计划:

周数计划
1导论+第1章椭圆曲线
2第2章,二次曲线和p-adic域
3第3章zeta函数+第4章代数数论简介
4第5章
5第6章
6第7章
7第8章
8第8章
9课程期末报告
10课程期末报告