Category Archives: 数学教学

2019-秋季 线性代数 MA270

课程信息

  • 时间: 星期一 第3节–第4节(10:00 AM – 11:40AM)、星期四(双周)) 第1节–第2节(8:00AM – 9:40AM)
  • 地点: 下院114 (1-16周)
  • 课本: 上海交通大学数学系,线性代数(第三版),科学出版社,2014
  • MOOC(慕课)地址

分数比例

平时:20%,大作业: 10% 期末:70%

期中考试

  • 时间: 待定
  • 地点: 待定

答疑时间

课件(ppt)

作业:

  • 作业1, 9月23日交: p41 习题一: 1.2, 1.3, 1.5, 3, 4, 7
  • 作业2, 9月30日交: 习题一: 8.1, 11.1, 12.1, 12.4, 12.5, 12.6, 13.1, 13.3, 19.2, 20.4
  • 作业3, 10月14日交: 习题一: 14.1, 14.3, 14.5, 15, 16, 17
  • 作业4, 10月21日交: 习题二: 6, 7.1, 7.3, 8, 9, 10, 13, 15, 17, 27, 32, 33
  • 作业5, 10月28日交: 习题二: 21.2, 21.7,22.1,22.3, 22.4, 26, 28
  • 作业6, 11月11日交: 习题二: 47, 48, 49, 51.1, 51.3, 51.5, 52, 53, 54 习题三: 1, 3, 4, 6.1, 6.2, 7.1, 8 思考题(不用交) 9
  • 作业7, 11月18日交: 习题三: 17, 19.2, 20.2, 22, 23, 24.1,24.3, 24.5, 25, 26, 27.1, 27.2, 28.2, 33, 35

2017 秋季 代数数论

主要内容,简要介绍类域论的知识。

上课时间:第1周到第8周,周一11-12节和周三9-10节。 地点: 上院306

课本:

参考书:

  1. [S] Serre, A course in Arithmetic
  2. [SL]Serre, Local Fields
  3. [SD] Swinnerton-Dyer, A Brief Guide to Algebraic Number Theory
  4. [N] Neukirch, Algebraic Number Theory
  5. Weil, Basic Number Theory
  6. [AM] Atiyah and MacDonald, Introduction to Commutative Algebra
  7. [CF] Algebraic Number Theory, Proceedings of an Instructional Conference Organized by the London Mathematical Society
  8. [M] J.S. Milne, Class Field Theory
  9. [A] Michael Artin on noncommutative ring theory
  10. [FD] Farb and Dennis, Noncommutative Algebra, Chapter 4: The Brauer Group

思考题:

  • 第二章, 问题 4,12,习题 2.2
  • 第三章, 问题 3,习题 3.4

期末报告备选问题:

  1. Gamma函数与Sin函数的乘积公式. Erica Chan, The Sine Product Formula and the Gamma Function
  2. 复数域上的椭圆曲线 J.S. Milne, Elliptic Curves; Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, An online lecture note
  3. Galois理论的回顾, Trace和Norm [K] 附录, [N] Section I.2
  4. 分圆域(Galois群,整数环,理想的分解等) [K] 相关章节, [N] Section I.10 [SD] Section 13
  5. 整闭整环及其扩张. [AM] Chapter 5, [N] Section I.2
  6. 局部化,局部环. [N] Section I.11
  7. Noether环,Artin环及例子 [AM] Chapter 6-8
  8. Dedekind环的定义,基本性质及例子. [N] Section I.3 [AM] Chapter 9 [CF] Section I.2
  9. 共轭差积与判别式 (Difference and Discriminant) [N] III.2 [K] 6.3(b)
  10. 理想及分式理想的分解 [N] Section I.3 [AM] Chapter 4, Chapter 9 [CF] Section I.2
  11. 逆向极限, pro-finite group及在Galois理论中的应用. [CF] Section V.1
  12. 完备局部域, Hensel引理及p-aidc域的乘法群结构. [S] Chapter 2 [N] Proposition II.5.7
  13. 不变测度及命题6.81,6.82的证明. [K] 6.4(g)节 [SD] 附录
  14. Pontrjagin对偶, 例子,及命题6.79的证明. [K] 6.4(h)节.
  15. 中心单代数及Brauer群的定义 [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5, [FD]
  16. Brauer群的例子(有限域,局部域及inv映射) [A] [M] Chapter 4, [SL] X.5 XII, [FD]
  17. 关于素数分布的定理 [K] 第七章相关部分
  18. L-函数的函数方程 [K] 第七章相关部分
  19. 类域论在函数域情况下的结果. [K] 课本相关内容 [N] Section I.14

期末报告   地点:数学楼1106,2017年12月17日
题目及时间:

序号 报告时间 姓名 题目
1 09:00 — 09:30 岳宸阳  Gamma函数与Sin函数的乘积公式
2 09:30 — 10:00 阚晓鹏 复数域上的椭圆曲线 J.S. Milne, Elliptic Curves; Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
3 10:00 — 10:30 梁乐 Galois理论的回顾, Trace和Norm [K] 附录, [N] Section I.2
4 10:30 — 11:00 肖凌 分圆域(Galois群,整数环,理想的分解等) [K] 相关章节, [N] Section I.10 [SD] Section 13
5 11:00 — 11:30 侯家齐 整闭整环及其扩张. [AM] Chapter 5, [N] Section I.2
6 11:30 — 12:00 钟宇涛 Noether环,Artin环及例子 [AM] Chapter 6-8
7 13:00 — 13:30 吴怡婕 Dedekind环的定义,基本性质及例子. [N] Section I.3 [AM] Chapter 9 [CF] Section I.2
8 13:30 — 14:00 吴斌香 共轭差积与判别式 (Difference and Discriminant) [N] III.2 [K] 6.3(b)
9 14:00 — 14:30 许逸凡 理想及分式理想的分解 [N] Section I.3 [AM] Chapter 4, Chapter 9 [CF] Section I.2
10 14:30 — 15:00 张正鑫 逆向极限, pro-finite group及在Galois理论中的应用. [CF] Section V.1
11 15:00 — 15:30 万仁星 完备局部域, Hensel引理及p-aidc域的乘法群结构. [S] Chapter 2 [N] Proposition II.5.7
12 15:30 — 16:00 张亚智 不变测度及命题6.81,6.82的证明. [K] 6.4(g)节 [SD] 附录
13 16:00 — 16:30 陈雨阳 Pontrjagin对偶, 例子,及命题6.79的证明. [K] 6.4(h)节.
14 16:30 — 17:00 盛晗晗 中心单代数及Brauer群的定义 [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5,  [FD]
15 17:00 — 17:30 沈博健 Brauer群的例子(有限域,局部域及inv映射) [A] [M] Chapter 4 [SL] X.5 XII, [FD]
16 17:30 — 18:00 郑振洲 关于素数分布的定理 [K] 第七章相关部分

高等代数与解析几何知识点

  1. 线性空间

    • 定义, 常见的例子: \mathbb{R}^n, 多项式, 连续函数等组成的空间…
    • 从已知线性空间构造新的线性空间: 子空间, 商空间, 直和, 线性映射的核空间/像空间, (线性映射组成的空间\mathop{Hom}(V,W), 对偶空间V^*= \mathop{Hom}(V,K), 直积, 张量积, 外积… )
  2. 线性映射

    • 选定一组基以后, 线性映射\Leftrightarrow矩阵. 换不同的基\Leftrightarrow矩阵的相似变换.
    • 维数公式: \tau\in \mathop{Hom}(V,W), 则\dim \mathop{Ker}(\tau) + \dim \mathop{Im} (\tau) = \dim V
    • 不变子空间\longleftrightarrow存在基使得在这组基下线性映射成分块上(下)三角形;
    • 空间的分解成不变子空间的直和\longleftrightarrow存在基使得在这组基下线性映射成分块对角矩阵;
    • 特征值, 特征向量, 矩阵/线性变换可对角化\longleftrightarrow存在一组由特征向量组成的基
    • 任意有限维空间上的线性变换有若当标准型, (幂零)若当块\longleftrightarrow循环子空间, 幂零变换的若当标准型, 广义特征子空间
    • 矩阵(线性变换的)函数(多项式或幂级数): 对多项式p可以定义p(A), 可以定义矩阵的指数e^A, (事实上如果矩阵可对角化, 可以对任意连续函数可以定义矩阵函数Functional calculus…)
    • 用若当标准型计算g(A)
  3. 带有附加配对(paring)结构的线性空间, (Paring: 线性空间上的对称、共轭对称或反对称的非退化双线性函数)
    • (伪)内积,酉内积,辛内积\longleftrightarrow欧氏空间, (伪)欧氏空间,酉空间,辛空间
    • (酉)内积空间中的Cauchy-Schwarz不等式, 三角不等式
    • 任取基, 得度量矩阵:
      内积, (伪)内积, 酉内积, 辛内积 分别对应 正定对称矩阵, 可逆的对称矩阵, 正定的共轭对称矩阵, 反对称矩阵
    • 换基\longleftrightarrow矩阵的合同(congruence)变换 (即A\mapsto P^TAP或(在酉空间中)A\mapsto P^*AP)
    • 存在特别的基: 标准正交基(对欧氏空间, 酉空间), 辛空间(辛基), 对应的度量矩阵特别简单\longleftrightarrow矩阵
    • 标准正交基的构造: Gram–Schmidt方法 \longleftrightarrow (可逆)矩阵的QR分解(即分解为正交矩阵和上(或下)三角矩阵的乘积)
    • 保持结构的线性变换/矩阵(这些变换组成一个群): 正交变换/矩阵, 酉变换/矩阵, 辛变换, (伪内积空间上可以定义类似的变换)
    • 非退化的配对结构\leadstoAdjoint/Transpose的概念
    • 谱理论: 对称变换/矩阵(或正规变换)可以在某个标准正交基/用某个正交矩阵(或酉矩阵) 对角化;
      半正定矩阵\leftrightarrow对角线上非负数 (所以这样的矩阵可以求”开方”),
      Hermit矩阵\leftrightarrow对角线上实数,
      酉矩阵\leftrightarrow对角线上是单位根
      正交矩阵的标准形(分块对角矩阵, 每一块要么是\pm 1要么是个旋转.
    • 其他的常见分解: 极分解(Poler decomposition), (SVD分解…)
    • (伪内积空间与内积空间的异同, 不同, 如存在长度为零的非零向量.)
  4. 多项式环, 整数环, (一般的环的概念, 交换环, 零因子, 整环等概念…)

    • (多项式)环的理想的概念, 主理想的概念, 一元多项式环与整数环是主理想整环, 多元多项式环不是
    • 最大公因子/互素, 最小公倍数的概念及其与对应的理想的关系; 环中的单位(unit即可逆元)的概念, 不可约元/素元/(素理想)的概念, 唯一分解整环/唯一分解定理, 整数环是唯一分解整环(算术基本定理), (一元或多元)多项式环是唯一分解整环.
    • 中国剩余定理(和它的环论描述)
    • 多项式环中的因式分解:
      在复数域上分解为一次多项式的乘积(代数基本定理), 重根的概念, 及重根重数的判定法则
      在实数域上, 分解为一次或二次多项式的乘积.
      有理数域/整数环上, 分解为本原多项式的乘积, (一类本原多项式不可约的判别法: Eisenstein判别法)
    • 整数环, 整数环的商环(即同余类组成的环), Euler函数(另一种看法:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}中可逆元的个数)和它的计算公式, (积性函数Multiplicative function的概念), Euler定理/Fermat小定理
    • (用一元多项式环进一步理解线性变换的不变子空间/Jordan标准型的理论.)
    • (多元多项式环这的”首项”的概念, 初等对称多项式, 根与系数关系, 对称多项式基本定理, 判别式, 指数和/牛顿关于初等对称多项式与指数和之间关系的等式)
  5. 解析几何
    • 仿射空间, 度量空间, 射影空间的概念;
    • 选取仿射标架,正交标架(射影坐标系)\leftrightarrow将空间等同于\mathbb{R}^n(或P(\mathbb{R})^n)
      保持结构的变换: 仿射变换, 保距变换, (射影变换);\mathbb{R}^n(或P(\mathbb{R})^n)上这些变换的矩阵表达形式
      换标架\leftrightarrow\mathbb{R}^n上的仿射/保距变换.
    • (Klein和Erlangen纲领:几何=研究变换下的不变量)
    • 方程和图形: 一般方程, 参数方程
      二/三维空间中的例子: (三维空间中的特殊工具:外积(叉积,cross product))
      直线, 平面的的方程
    • 二次曲线和二次曲面:
      典型的二次曲线和二次曲面的方程和图形
      二次曲线、曲面的等距分类/仿射分类/射影分类 \leftrightarrow本质上是对称矩阵在不同变换下的等价类.
      二次曲面与平面的截线
      典型的非平凡的直纹面: 单叶双曲面, 双曲抛物面
    • (用仿射变换/射影变换证明平面几何中的问题…)