2017 春季 高等代数与解析几何 II

期末考试: 2017-06-23第18周星期五 15:40-17:40, 东中院3-301
期末考试试题及答案（2周内可下载）

期末考前答疑: 数学系三号楼，21号下午324，22号上午323b
知识要点

通知:六月5号, 周一, 习题课改为上课, 所有同学在东中院1-301上课.

答疑

时间: 时间周二,周四晚上 6:30-9:00 (除5月2号,5月4号,5月30号,6月2号), 地点: 数学楼 2302办公室
答疑请预先邮件联系hoxide@sjtu.edu.cn

期中考试：

地点:东上院104, 时间:5月2日,16:00到18:00。 若因故缺席，成绩按期末考试成绩算。期中试卷及
答案

解析几何参考用书： 解析几何（尤承业），2004， 北京大学出版社

习题：

  • 3月27日交，第六章
    • 习题一, 题2, 此题改为考虑 M_n(\mathbb{R})中全体矩阵, 内积改为<A,B> = Tr(A' \;B)。这个内积本质上就是Hilbert–Schmidt内积
    • 习题一，题4，5，17, 19
    • 习题一，题20, 这是Riesz表现定理在欧式空间中的具体形式
    • 习题一，题21
    • 习题二，1，2，3，4，5，7，8.
      定理5可以增强为至多n个镜面反射, 此题结论对非正定型给出的正交矩阵也成立：Cartan–Dieudonné theorem

    自行阅读思考以下题目的证明，不需要写下证明 (Think and read a proof if necessary, not required to submit your own proof)

  • 4月1日交，第六章
    • 习题二，10，11，17，18，19，22，23，24。
    • 习题二，29，这个内积叫Frobenius内积，或者说是Hilbert–Schmidt内积 的特殊情况。对酉空间类似的结论成立。

自行阅读思考以下题目的证明，不需要写下证明 (Think and read a proof if necessary, not required to submit your own proof)

  • 习题二，12，13，16
  • 4月10日交，第六章

    自行阅读思考以下题目的证明

    • 习题二，25, 26, 27, 28
    • 习题三，1，2，3
  • 4月17日交，第七章
    • 习题一，1，9，13
    • 习题二，4，5，7, 8
    • 习题三，3第(3)小题, 8，9

    自行思考以下题目

    • 习题一，5，6，7，8，14
    • 习题二，1，2，3，9, 10, 11
    • 习题三，1，2，5
  • 4月24日交,
    • 第七章, 习题四, 2 (2), 9, 11
    • 第九章, 习题五, 3, 5, 8

    自行思考以下题目

    • 第七章, 习题四, 4, 7, 8
    • 第九章, 习题五, 4, 9, 10, 11, 12
  • 5月8日交,
    • 第八章, 习题一, 5 (这种分解叫 准素分解(Primary decomposition)), 6, 7 (此题结论表明\mathbb{Z}是一个诺特环(Noetherian Ring)),
    • 第八章, 习题二, 3, 9, 10 (这题的背景:如果将f(x)的系数模p后,得到系数在有限域\mathbb{F}_p上的多项式\bar{f}(x), 方程\bar{f}(x)=0有n个不同的解可以推出\bar{f}(x)是对应一次项的乘积.).
    • 第八章, 习题二, 11

    自行思考以下题目

    • 第八章, 习题一, 2,3,8,9,10,11
    • 第八章, 习题二, 1, 2, 5, 6
  • 5月15日交,
    • 第九章, 习题一, 12, 19, 21, 27, 31, 32

    自行思考以下题目

    • 第九章, 习题一, 11, 13, 14, 25, 26, 28
  • 5月22日交,
    • 第九章, 习题二, 3, 4 这两题说明\mathbb{Q}[\alpha]是一个域, 事实上\mathbb{Q}的所有有限扩域都可以这样构造出来. (这里”有限”指的是, 扩域作为\mathbb{Q}上的线性空间是有限维的).
    • 第九章, 习题四, 1, 2, 3 注:题2说明整环K[x]是 整闭整环(Integrally closed domain)

    自行思考以下题目

    • 第九章, 习题二, 5, 10,
    • 第九章, 习题四, 4
    • 第十章, 习题一, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 14
    • 可以这样理解题 4, 11, 12: 设K是有无穷多个元素的域, 对任意多项式0\not = f\in K\left[x_1, \cdots, x_n\right] 将D_f = \{(a_1, \cdots, a_n)\in K^n | f(a_1, \cdots, a_n)\not = 0\}看做K^n中的开子集(principle (Zariski) open set, 事实上它们构成K^n上Zariski拓扑的拓扑基). 两个多项式g和h如果在D_f上取值相等, 则这两个多项式相等, 即K^n中的非空Zariski开集都是“稠密”的.
  • 5月27日交,
    • 第十章， 习题二， 9, 10 （可以先做10，再做9）.
    • 解析几何(尤承业），习题1.3, 13, 14
    • 解析几何(尤承业），习题2.2, 4
    • 解析几何(尤承业），习题2.3, 11

    自行思考以下题目

    • 第十章，习题二，4, 14
    • 解析几何(尤承业），习题1.3, 6,7,8,9
    • 解析几何(尤承业），习题2.2, 10 ((P,Q,R)是“简单比”，它的定义在第11页上), 11
  • 请自行思考以下题目:

    • 解析几何, 习题2.5, 11, 16,
    • 解析几何, 习题2.6, 5 (提示:可以通过压缩法假设相关曲面是旋转曲面), 6, 7, 8 (书后答案有小错)
    • 解析几何, 习题2.7, 4 (提示:可选取适当仿射标架简化问题), 6 (提示: 选取适当仿射标架可化为问题4)
    • 解析几何, 习题3.2, 3, 4, 5,6
    • 解析几何, 习题4.3, 9, 10 (提示: 可以利用9)
    • 解析几何, 习题4.4, 8, 12 (提示:可直接用射影变换将对边变为平行线.)