Teaching

Coming semester

2017 秋季 代数数论

主要内容,简要介绍类域论的知识。

参考书:

  1. 数论 I: Fermat的梦想和类域论
  2. Serre, A course in Arithmetic
  3. Serre, Local Fields
  4. Swinnerton-Dyer, A Brief Guide to Algebraic Number Theory
  5. Neukirch, Algebraic Number Theory
  6. Weil, Basic Number Theory

Current course

2017 春季 高等代数与解析几何 II

期末考试: 2017-06-23第18周星期五 15:40-17:40, 东中院3-301
期末考试试题及答案(2周内可下载)

期末考前答疑: 数学系三号楼,21号下午324,22号上午323b
知识要点

通知:六月5号, 周一, 习题课改为上课, 所有同学在东中院1-301上课.

答疑

时间: 时间周二,周四晚上 6:30-9:00 (除5月2号,5月4号,5月30号,6月2号), 地点: 数学楼 2302办公室
答疑请预先邮件联系hoxide@sjtu.edu.cn

期中考试:

地点:东上院104, 时间:5月2日,16:00到18:00。 若因故缺席,成绩按期末考试成绩算。期中试卷及
答案

解析几何参考用书: 解析几何(尤承业),2004, 北京大学出版社

习题:

  • 3月27日交,第六章
    • 习题一, 题2, 此题改为考虑 M_n(\mathbb{R})中全体矩阵, 内积改为<A,B> = Tr(A' \;B)。这个内积本质上就是Hilbert–Schmidt内积
    • 习题一,题4,5,17, 19
    • 习题一,题20, 这是Riesz表现定理在欧式空间中的具体形式
    • 习题一,题21
    • 习题二,1,2,3,4,5,7,8.
      定理5可以增强为至多n个镜面反射, 此题结论对非正定型给出的正交矩阵也成立:Cartan–Dieudonné theorem

    自行阅读思考以下题目的证明,不需要写下证明 (Think and read a proof if necessary, not required to submit your own proof)

  • 4月1日交,第六章
    • 习题二,10,11,17,18,19,22,23,24。
    • 习题二,29,这个内积叫Frobenius内积,或者说是Hilbert–Schmidt内积 的特殊情况。对酉空间类似的结论成立。

自行阅读思考以下题目的证明,不需要写下证明 (Think and read a proof if necessary, not required to submit your own proof)

  • 习题二,12,13,16
  • 4月10日交,第六章

    自行阅读思考以下题目的证明

    • 习题二,25, 26, 27, 28
    • 习题三,1,2,3
  • 4月17日交,第七章
    • 习题一,1,9,13
    • 习题二,4,5,7, 8
    • 习题三,3第(3)小题, 8,9

    自行思考以下题目

    • 习题一,5,6,7,8,14
    • 习题二,1,2,3,9, 10, 11
    • 习题三,1,2,5
  • 4月24日交,
    • 第七章, 习题四, 2 (2), 9, 11
    • 第九章, 习题五, 3, 5, 8

    自行思考以下题目

    • 第七章, 习题四, 4, 7, 8
    • 第九章, 习题五, 4, 9, 10, 11, 12
  • 5月8日交,
    • 第八章, 习题一, 5 (这种分解叫 准素分解(Primary decomposition)), 6, 7 (此题结论表明\mathbb{Z}是一个诺特环(Noetherian Ring)),
    • 第八章, 习题二, 3, 9, 10 (这题的背景:如果将f(x)的系数模p后,得到系数在有限域\mathbb{F}_p上的多项式\bar{f}(x), 方程\bar{f}(x)=0n个不同的解可以推出\bar{f}(x)是对应一次项的乘积.).
    • 第八章, 习题二, 11

    自行思考以下题目

    • 第八章, 习题一, 2,3,8,9,10,11
    • 第八章, 习题二, 1, 2, 5, 6
  • 5月15日交,
    • 第九章, 习题一, 12, 19, 21, 27, 31, 32

    自行思考以下题目

    • 第九章, 习题一, 11, 13, 14, 25, 26, 28
  • 5月22日交,
    • 第九章, 习题二, 3, 4 这两题说明\mathbb{Q}[\alpha]是一个域, 事实上\mathbb{Q}的所有有限扩域都可以这样构造出来. (这里”有限”指的是, 扩域作为\mathbb{Q}上的线性空间是有限维的).
    • 第九章, 习题四, 1, 2, 3 注:题2说明整环K[x] 整闭整环(Integrally closed domain)

    自行思考以下题目

    • 第九章, 习题二, 5, 10,
    • 第九章, 习题四, 4
    • 第十章, 习题一, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 14
    • 可以这样理解题 4, 11, 12: 设K是有无穷多个元素的域, 对任意多项式0\not = f\in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]D_f = \{(a_1, \cdots, a_n)\in K^n | f(a_1, \cdots, a_n)\not = 0\}看做K^n中的开子集(principle (Zariski) open set, 事实上它们构成K^n上Zariski拓扑的拓扑基). 两个多项式gh如果在D_f上取值相等, 则这两个多项式相等, 即K^n中的非空Zariski开集都是“稠密”的.
  • 5月27日交,
    • 第十章, 习题二, 9, 10 (可以先做10,再做9).
    • 解析几何(尤承业),习题1.3, 13, 14
    • 解析几何(尤承业),习题2.2, 4
    • 解析几何(尤承业),习题2.3, 11

    自行思考以下题目

    • 第十章,习题二,4, 14
    • 解析几何(尤承业),习题1.3, 6,7,8,9
    • 解析几何(尤承业),习题2.2, 10 ((P,Q,R)是“简单比”,它的定义在第11页上), 11
  • 请自行思考以下题目:

    • 解析几何, 习题2.5, 11, 16,
    • 解析几何, 习题2.6, 5 (提示:可以通过压缩法假设相关曲面是旋转曲面), 6, 7, 8 (书后答案有小错)
    • 解析几何, 习题2.7, 4 (提示:可选取适当仿射标架简化问题), 6 (提示: 选取适当仿射标架可化为问题4)
    • 解析几何, 习题3.2, 3, 4, 5,6
    • 解析几何, 习题4.3, 9, 10 (提示: 可以利用9)
    • 解析几何, 习题4.4, 8, 12 (提示:可直接用射影变换将对边变为平行线.)

Courses

  • 2015 Summer, MA1030E: Linear Algebra I, CUHK
  • 2013 Fall, Geometric Representation theory, 5-lectures, BGU

Tutorials

  • 2012 Fall, MA1505: Mathematics I (calculus for engineering students), NUS
  • 2012 Spring, MA1505: Mathematics II (mathematical models for engineering students), NUS
  • 2011 Fall, MA1505: Mathematics I (calculus for engineering students), NUS
  • 2011 Spring, MA1505: Mathematics I (calculus for engineering students), NUS
  • 2010 Fall, MA1505: Mathematics I (calculus for engineering students), NUS
  • 2010 Spring, MA1505: Mathematics I (calculus for engineering students), NUS
  • 2009 Fall, CS1231: Discrete Structures (for students in computer science), NUS
  • 2009 Spring, CS1231: Discrete Structures (for students in computer science), NUS
  • 2008 Fall, Matlab, NUS
  • 2008 Spring, Matlab, NUS